Démontrer que si f est paire alors f' est impaire

Soit une fonction f définie sur un ensemble A centré à 0. Supposons que cette fonction soit paire et admet une dérivée en tout point où f est définie. Nous allons démontrer que f' (dérivée de f) est impaire.

nous avons pour tous x appartenant à A, f(x)=f(-x), car f est paire. Or f(-x) est identique à la  composée de f et de -x, f(-x) = f o (-x). Dérivons les deux membres de cette égalité, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée (f'(u(x))*u'(x)) pour le second membre.
Nous obtenons: f'(x) = f'(-x) * (-1),
alors, f'(x)=-f'(-x) pour tous x appartenant à A, par conséquent nous concluons que f' est une fonction impaire.

Quelques éléments de logique et raisonnement mathématiques

Nous allons expliquer et discuter les opérateurs implique et équivaut utilisés largement en sciences mathématiques. Ces opérateurs trouvent leurs fondements en théorie de la logique et du raisonnement mathématiques.

Commençons par définir une proposition par une phrase ayant un sens et qui peut être affectée une valeur vraie ou fausse. Nous allons traiter des propositions et leurs relations, quand elles sont définies, de l’une par rapport aux autres.

Essayons de dégager la définition de la relation implique entre deux propositions par la discussion de l’exemple suivant.

Soit p : un entier naturel n vérifie n >= 0,

Et q : 2 >= 0.

Nous avons p => q (p implique q). Mais pas q => p (q n’implique pas p).

Cela signifie que la valeur vraie de p nous mène à affirmer que q est vraie sans d’autres évidences supplémentaires. En effet, le fait que p soit vrai suffit à dire que q soit vraie. Cependant dans ce cas, la connaissance de q ne suffit pas pour déduire p (c’est la proposition q => p). En effet il y a une infinité de propositions similaires à q dont leur union mène à affirmer p. Par exemple, l’ensemble des propositions 0>=0, 1>=0, 2>=0, 3>=0,….. mène à dire d’une façon sure que la proposition p : un entier naturel n vérifie n >= 0 est vraie.

Donc la connaissance de la véracité de p=>q nous mènent pas à déduire la valeur de vérité de q=>p. Ces deux propositions sont indépendantes et ont des significations différentes.

p => q veut dire	q => p veut dire
Si p est vraie, alors q est vraie	Si q est vraie, alors p est vraie
Pour que p soit vraie, il faut que q soit vraie	Pour que q soit vraie, il faut que p soit vraie
Pour que q soit vraie, il suffit que p soit vraie	Pour que p soit vraie, il suffit que q soit vraie
q est vraie si p est vraie	p est vraie si q est vraie
p est vraie seulement si q est vraie	q est vraie seulement si p est vraie

L’opérateur <=> relie deux propositions p et q de la façon suivante : p<=>q, et signifie que ces deux propositions sont équivalentes, en d’autres termes, nous ne pouvons pas distinguer p et q, car p et q signifie exactement la même chose.

p<=>q signifie que p=>q et q=>p, c’est-à-dire p=>q et q=>p découle, ou est une conséquence de p<=>q. De même, p=>q et q=>p signifie que p<=>q, donc on peut déduire que p<=>q <=>(p=>q et q=>p).

Représentation graphique

p=>q peut être comparé à p ≥ q, c’est-à-dire q est un sous-ensemble de p. De cette façon, d’autres propositions différentes de q peuvent découler de p. Par exemple, p=>q1 et p=>q2, q1 et q2 seraient des sous-ensembles de p (q1 et q2 peuvent ne pas exister notamment si p<=>q). S’il n’existe pas d’autres propositions qi distincts de q qui vérifient p=>qi, on peut déduire que p et q sont égaux en tant qu’ensembles, et p<=>q, en tant que propositions. En effet, nous n’avons pas pu trouver de propositions qui soient une conséquence ( ou contenue dans l’un) de l’un mais pas de l’autre.

implique et équivaut