Soit une fonction f définie sur un ensemble A centré à 0. Supposons que cette fonction soit paire et admet une dérivée en tout point où f est définie. Nous allons démontrer que f' (dérivée de f) est impaire.
nous avons pour tous x appartenant à A, f(x)=f(-x), car f est paire. Or f(-x) est identique à la composée de f et de -x, f(-x) = f o (-x). Dérivons les deux membres de cette égalité, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée (f'(u(x))*u'(x)) pour le second membre.
Nous obtenons: f'(x) = f'(-x) * (-1),
alors, f'(x)=-f'(-x) pour tous x appartenant à A, par conséquent nous concluons que f' est une fonction impaire.
nous avons pour tous x appartenant à A, f(x)=f(-x), car f est paire. Or f(-x) est identique à la composée de f et de -x, f(-x) = f o (-x). Dérivons les deux membres de cette égalité, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée (f'(u(x))*u'(x)) pour le second membre.
Nous obtenons: f'(x) = f'(-x) * (-1),
alors, f'(x)=-f'(-x) pour tous x appartenant à A, par conséquent nous concluons que f' est une fonction impaire.
No comments:
Post a Comment